۱- کسرهای زیر را مانند نمونه و به کمک ماشین حساب به عددهای اعشاری تبدیل کنید.
بین عددهای حاصل چه تفاوتی مشاهده می‌کنید؟ آیا می‌توانید کسرها را طبقه‌بندی کنید؟
**تبدیل کسرها به عدد اعشاری:**
- $ \frac{۲}{۵} = ۲ \div ۵ = ۰.۴ $
- $ \frac{۳}{۷} \approx ۰.۴۲۸۵۷۱... $
- $ \frac{۱}{۳} = ۰.۳۳۳... = ۰.\overline{۳} $
- $ \frac{۵}{۶} = ۰.۸۳۳۳... = ۰.۸\overline{۳} $
- $ \frac{۵}{۴} = ۱.۲۵ $
- $ \frac{۱}{۸} = ۰.۱۲۵ $
**تفاوت و طبقه‌بندی:**
بین اعداد اعشاری به دست آمده دو تفاوت اصلی وجود دارد. بر این اساس می‌توان کسرها را به دو دسته طبقه‌بندی کرد:
۱. **کسرهای مختوم (Terminating Decimals):** کسرهایی که نمایش اعشاری آنها پایان می‌یابد.
- مثال‌ها: $ \frac{۲}{۵}, \frac{۵}{۴}, \frac{۱}{۸} $
۲. **کسرهای متناوب (Repeating Decimals):** کسرهایی که نمایش اعشاری آنها پایان نمی‌یابد و در عوض یک یا چند رقم در آن به طور نامحدود تکرار می‌شوند.
- مثال‌ها: $ \frac{۱}{۳} $ (با تکرار رقم ۳)، $ \frac{۵}{۶} $ (با تکرار رقم ۳)، $ \frac{۳}{۷} $ (با تکرار گروهی از ارقام)
یک راه برای تشخیص این دو نوع کسر (بدون انجام تقسیم) این است که اگر در شکل ساده شده یک کسر، مخرج آن فقط از عوامل اول ۲ و ۵ تشکیل شده باشد، کسر از نوع مختوم خواهد بود. در غیر این صورت، متناوب است.
۲- مانند نمونه، ضرب یک کسر در معکوسش را روی شکل نشان دهید. چگونه می‌توانیم از روی شکل نشان دهیم که حاصل ضرب کسر در معکوسش، یک می‌شود؟
این شکل به صورت تصویری نشان می‌دهد که چرا حاصل‌ضرب کسر $ \frac{۲}{۳} $ در معکوس آن یعنی $ \frac{۳}{۲} $ برابر با یک واحد کامل می‌شود.
**توضیح مراحل شکل:**
1. **مرحله اول (شکل سمت چپ):** یک مربع کامل به عنوان **۱ واحد** در نظر گرفته شده است.
2. **مرحله دوم (شکل وسط):** این ۱ واحد به ۳ قسمت مساوی عمودی تقسیم شده و ۲ قسمت از آن رنگی شده است. این قسمت رنگی، کسر $ \frac{۲}{۳} $ از واحد کل را نشان می‌دهد.
3. **مرحله سوم (شکل سمت راست):** حالا ما $ \frac{۳}{۲} $ (سه دوم) از قسمت رنگی ($ \frac{۲}{۳} $) را می‌خواهیم. برای این کار، قسمت رنگی را به ۲ قسمت مساوی افقی تقسیم می‌کنیم. هر قسمت افقی، یک ردیف است. ما باید ۳ ردیف از این‌ها را برداریم. با رنگ کردن ۳ ردیف، می‌بینیم که کل مربع واحد اولیه (که به یک شبکه $ ۲ \times ۳ $ تبدیل شده) به طور کامل رنگ می‌شود.
**چگونه شکل نشان می‌دهد حاصل برابر با ۱ است؟**
شکل نهایی نشان می‌دهد که حاصل‌ضرب $ \frac{۲}{۳} \times \frac{۳}{۲} $ (ناحیه رنگی نهایی) دقیقاً برابر با مساحت مربع واحد اولیه است. از آنجایی که مساحت مربع اولیه را **۱ واحد** تعریف کردیم، نتیجه می‌گیریم که حاصل‌ضرب نیز برابر با **۱** است. در واقع، عملیات دوم (ضرب در $ \frac{۳}{۲} $) دقیقاً عملیات اول (ضرب در $ \frac{۲}{۳} $) را خنثی کرده و ما را به همان ۱ واحد اولیه بازگردانده است.
